Perhatikan gambar di bawah ini!
Dapatkah kalian menentukan panjang tangga yang bersandar di tembok seperti gambar di atas? Salah satu cara untuk menentukan panjang tangga adalah dengan rumus Phytagoras. Lalu, apa itu rumus Phytagoras? Bagaimana penerapannya dalam kehidupan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah materi matematika ini dengan baik.
Rumus Phytagoras adalah rumus yang didapati dari Teorema Phytagoras. Teorema Phytagoras adalah teorema yang menerangkan tentang keberhubungan sisi-sisi yang terdapat dalam sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikiawan asal Yunani yang bernama Phytagoras.
Adapun bunyi Teorema Phytagoras adalah sebagai berikut.
Dari teorema tersebut dapat dibuat sebuah rumus yang dapat digambarkan sebagai berikut.
Misalkan dipunyai dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi miring (hipotenusa) adalah c dan panjang sisi-sisi penyikunya (sisi selain sisi miring) adalah a dan b, maka teorema Phytagoras di atas dapat dirumuskan sebagai berikut.
c = sisi miring
a = tinggi
b = alas
Rumus Phytagoras umumnya digunakan untuk mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku sebagai berikut :
Kuadrat sisi AC = kuadrat sisi AB + kuadrat sisi BC. atau AC² = AB² + BC²
Rumus untuk mencari panjang sisi alas:
b² = c² - a²
Rumus untuk mencari sisi samping/tinggi segitiga:
a² = c² - b²
Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku:
c² = a² + b²
Secara matematis, rumus Phytagoras biasa digunakan untuk menentukan panjang sisi dari sebuah segitiga siku-siku. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini.
1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B digambarkan sebagai berikut.
Tentukan panjang sisi miring AC pada gambar di atas!
Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = √100
AC = 10
Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku tersebut adalah 10 cm.
2. Sebuah segitiga siku-siku KLM dengan siku-siku di L digambarkan sebagai berikut.
Tentukan panjang sisi KL pada gambar di atas!
Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13² - 12²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = √25
KL = 5
Jadi, panjang sisi KL pada segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm.
3. Diketahui segitiga siku-siku DEF dengan siku-siku di E digambarkan sebagai berikut.
Tentukan panjang sisi DE pada gambar di atas!
Jawab:
Karena segitiga DEF di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15² - 9²
DE² = 225 - 81
DE² = 144
DE = √144
DE = 12
Jadi, panjang sisi DE pada segitiga siku-siku tersebut adalah 12 cm.
4. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 16 cm dan Panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC pada gambar di atas!
Jawab:
Dari soal di atas dapat digambarkan sebuah segitiga siku-siku sebagai berikut.
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400
c = √400
c = 20
Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku ABC yang dimaksud di atas adalah 20 cm.
Selain untuk menentukan panjang sisi segitiga siku-siku, rumus Phytagoras juga digunakan untuk menentukan jenis dari sebuah segitiga. Apakah sebuah segitiga termasuk dalam jenis segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul. Lalu, bagaimana cara kita menentukan jenis segitiga dengan rumus Phytagoras itu?
Untuk menentukan jenis segitiga dengan teorema Phytagoras, maka kita harus membandingkan kuadrat sisi terpanjang dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.
Misalkan dipunyai segitiga siku-siku dengan panjang sisi miringnya (sisi terpanjang) adalah c, dan panjang sisi-siki penyikunya adalah a dan b, maka:
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal:
Sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Tentukan jenis segitiga tersebut apabila diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = 15 cm, dan AC = 20 cm !
Jawab:
Misalkan a adalah sisi terpanjang dan b, c adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 20 cm, b = 8 cm, a = 15 cm.
c² = 20² = 400
a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
Karena
c² > a² + b²
400 > 289
maka segitiga ABC termasuk dalam segitiga tumpul.
Contoh Soal:
Tentukan jenis segitiga berikut jika diketahui panjang sisi-sisinya adalah 10 cm, 12 cm, dan 15 cm !
Jawab:
Misalkan c adalah sisi terpanjang dan b, a adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 15 cm, b = 10 cm, a = 12 cm.
c² = 15² = 225
a² + b² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344
Karena
c² < a² + b²
225 < 344
maka segitiga tersebut termasuk dalam segitiga lancip.
Perhatikan beberapa bilangan di bawah ini.
3, 4, dan 5
6, 8, dan 10
5, 12, dan 13
Bilangan-bilangan yang ada di atas adalah bilangan-bilangan yang memenuhi aturan rumus Phytagoras. Bilangan-bilangan yang demikian itu dinamakan Tripel Phytagoras. Adapun bilangan Tripel Phytagoras dapat didefinisikan sebagai berikut.
Pada umumnya, Tripel Phytagoras terbagi menjadi dua yaitu Tripel Phytagoras Primitif dan Tripel Phytagoras Non-Primitif. Tripel Phytagoras Primitif adalah Tripel Phytagoras yang semua bilangannya memiliki FPB sama dengan 1. Contoh dari bilangan Tripel Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5 serta 5, 12, 13.
Sedangkan Tripel Phytagoras Non-Primitif adalah Tripel Phytagoras yang bilangan-bilangannya memiliki FPB tidak hanya sama dengan satu. Contohnya adalah 6, 8, dan 10; 9, 12, dan 15; 12, 16, dan 20; serta 15, 20, dan 25.
Pola angka pythagoras (Triple pythagoras) berguna untuk menyelesaikan soal pythagoras dengan mudah, berikut pola angka (triple pythagoras) tersebut:
a - b - c
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101
Dan masih banyak lainnya.
Ket:
a = tinggi segitiga
b = alas segitiga
c = sisi miring
Contoh Soal Menentukan Jarak Kaki Tangga dengan Tembok
Perhatikan gambar di bawah ini dengan cermat.
Diketahui sebuah tangga disandarkan pada tembok. Jika panjang tangga adalah 5 m dan tinggi temboknya adalah 4 m, tentukan jarak antara kaki tangga dengan temboknya!
Jawab:
Misalkan jarak antara kaki tangga dan tembok adalah x, maka untuk menentukan nilai x dapat digunakan Rumus Phytagoras sebagai berikut ini.
sisi miring atau c = 5m
tinggi atau b = 4m
ditanyakan alas atau x
x² = c² - b²
c² = 5² - 4²
c² = 25 - 16
c² = 9
c = √9
c = 3
Jadi, jarak antara kaki tangga dan tembok adalah 3 m.
Contoh Soal Menentukan Jarak Titik Awal Keberangkatan ke Titik Akhir:
Perhatikan gambar berikut ini.
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 15 km ke arah utara. Setelah sampai di Pelabuhan B, kapal tersebut berlayar kembali sejauh 36 km ke arah timur. Hitunglah jarak antara pelabuhan A dengan titik akhir!
Jawab:
Dari soal di atas dapat dibuat gambar dengan informasi seperti yang ada di bawah ini.
ditanyakan sisi miring atau c
diketahui
b = 36km
a = 15km
maka:
Jarak pelabuhan A ke titik akhir
c² = 15² + 36²
c² = 225 + 1296
c² = 1521
c = √1521
c = 39
Jadi, jarak pelabuhan A ke titik akhir adalah 39 km.
Dapatkah kalian menentukan panjang tangga yang bersandar di tembok seperti gambar di atas? Salah satu cara untuk menentukan panjang tangga adalah dengan rumus Phytagoras. Lalu, apa itu rumus Phytagoras? Bagaimana penerapannya dalam kehidupan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah materi matematika ini dengan baik.
Pengertian Rumus Phytagoras
Rumus Phytagoras adalah rumus yang didapati dari Teorema Phytagoras. Teorema Phytagoras adalah teorema yang menerangkan tentang keberhubungan sisi-sisi yang terdapat dalam sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikiawan asal Yunani yang bernama Phytagoras.
Adapun bunyi Teorema Phytagoras adalah sebagai berikut.
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi terpanjang adalah sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.
Dari teorema tersebut dapat dibuat sebuah rumus yang dapat digambarkan sebagai berikut.
Rumus Phytagoras
c² = a² + b²Keterangan:
c = sisi miring
a = tinggi
b = alas
Rumus Phytagoras umumnya digunakan untuk mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku sebagai berikut :
Rumus untuk mencari panjang sisi alas:
b² = c² - a²
Rumus untuk mencari sisi samping/tinggi segitiga:
a² = c² - b²
Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku:
c² = a² + b²
Menentukan Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku
Secara matematis, rumus Phytagoras biasa digunakan untuk menentukan panjang sisi dari sebuah segitiga siku-siku. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal Pythagoras (Pitagoras) dan Penyelesaiannya:
1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B digambarkan sebagai berikut.
Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = √100
AC = 10
Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku tersebut adalah 10 cm.
2. Sebuah segitiga siku-siku KLM dengan siku-siku di L digambarkan sebagai berikut.
Tentukan panjang sisi KL pada gambar di atas!
Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13² - 12²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = √25
KL = 5
Jadi, panjang sisi KL pada segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm.
3. Diketahui segitiga siku-siku DEF dengan siku-siku di E digambarkan sebagai berikut.
Tentukan panjang sisi DE pada gambar di atas!
Jawab:
Karena segitiga DEF di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15² - 9²
DE² = 225 - 81
DE² = 144
DE = √144
DE = 12
Jadi, panjang sisi DE pada segitiga siku-siku tersebut adalah 12 cm.
4. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 16 cm dan Panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC pada gambar di atas!
Jawab:
Dari soal di atas dapat digambarkan sebuah segitiga siku-siku sebagai berikut.
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400
c = √400
c = 20
Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku ABC yang dimaksud di atas adalah 20 cm.
Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya
Selain untuk menentukan panjang sisi segitiga siku-siku, rumus Phytagoras juga digunakan untuk menentukan jenis dari sebuah segitiga. Apakah sebuah segitiga termasuk dalam jenis segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul. Lalu, bagaimana cara kita menentukan jenis segitiga dengan rumus Phytagoras itu?
Untuk menentukan jenis segitiga dengan teorema Phytagoras, maka kita harus membandingkan kuadrat sisi terpanjang dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.
Misalkan dipunyai segitiga siku-siku dengan panjang sisi miringnya (sisi terpanjang) adalah c, dan panjang sisi-siki penyikunya adalah a dan b, maka:
- Jika c² < a² + b², maka termasuk segitiga lancip;
- Jika c² = a² + b², maka termasuk segitiga siku-siku;
- Jika c² > a² + b², maka termasuk segitiga tumpul.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal:
Sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Tentukan jenis segitiga tersebut apabila diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = 15 cm, dan AC = 20 cm !
Jawab:
Misalkan a adalah sisi terpanjang dan b, c adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 20 cm, b = 8 cm, a = 15 cm.
c² = 20² = 400
a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
Karena
c² > a² + b²
400 > 289
maka segitiga ABC termasuk dalam segitiga tumpul.
Contoh Soal:
Tentukan jenis segitiga berikut jika diketahui panjang sisi-sisinya adalah 10 cm, 12 cm, dan 15 cm !
Jawab:
Misalkan c adalah sisi terpanjang dan b, a adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 15 cm, b = 10 cm, a = 12 cm.
c² = 15² = 225
a² + b² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344
Karena
c² < a² + b²
225 < 344
maka segitiga tersebut termasuk dalam segitiga lancip.
Tripel Phytagoras
Perhatikan beberapa bilangan di bawah ini.
3, 4, dan 5
6, 8, dan 10
5, 12, dan 13
Bilangan-bilangan yang ada di atas adalah bilangan-bilangan yang memenuhi aturan rumus Phytagoras. Bilangan-bilangan yang demikian itu dinamakan Tripel Phytagoras. Adapun bilangan Tripel Phytagoras dapat didefinisikan sebagai berikut.
Tripel Phytagoras adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya memiliki nilai yang sama dengan jumlah dari kuadrat bilangan-bilangan lainnya.
Pada umumnya, Tripel Phytagoras terbagi menjadi dua yaitu Tripel Phytagoras Primitif dan Tripel Phytagoras Non-Primitif. Tripel Phytagoras Primitif adalah Tripel Phytagoras yang semua bilangannya memiliki FPB sama dengan 1. Contoh dari bilangan Tripel Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5 serta 5, 12, 13.
Sedangkan Tripel Phytagoras Non-Primitif adalah Tripel Phytagoras yang bilangan-bilangannya memiliki FPB tidak hanya sama dengan satu. Contohnya adalah 6, 8, dan 10; 9, 12, dan 15; 12, 16, dan 20; serta 15, 20, dan 25.
Pola angka pythagoras (Triple pythagoras) berguna untuk menyelesaikan soal pythagoras dengan mudah, berikut pola angka (triple pythagoras) tersebut:
a - b - c
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101
Dan masih banyak lainnya.
Ket:
a = tinggi segitiga
b = alas segitiga
c = sisi miring
Aplikasi Rumus Phytagoras dalam Permasalahan Sehari-Hari
Rumus Phytagoras banyak ditemui dalam berbagai permasalahan sehari-hari. Berikut ini akan dijabarkan beberapa aplikasi rumus Phytagoras tersebut.Contoh Soal Menentukan Jarak Kaki Tangga dengan Tembok
Perhatikan gambar di bawah ini dengan cermat.
Diketahui sebuah tangga disandarkan pada tembok. Jika panjang tangga adalah 5 m dan tinggi temboknya adalah 4 m, tentukan jarak antara kaki tangga dengan temboknya!
Jawab:
Misalkan jarak antara kaki tangga dan tembok adalah x, maka untuk menentukan nilai x dapat digunakan Rumus Phytagoras sebagai berikut ini.
sisi miring atau c = 5m
tinggi atau b = 4m
ditanyakan alas atau x
x² = c² - b²
c² = 5² - 4²
c² = 25 - 16
c² = 9
c = √9
c = 3
Jadi, jarak antara kaki tangga dan tembok adalah 3 m.
Contoh Soal Menentukan Jarak Titik Awal Keberangkatan ke Titik Akhir:
Perhatikan gambar berikut ini.
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 15 km ke arah utara. Setelah sampai di Pelabuhan B, kapal tersebut berlayar kembali sejauh 36 km ke arah timur. Hitunglah jarak antara pelabuhan A dengan titik akhir!
Jawab:
Dari soal di atas dapat dibuat gambar dengan informasi seperti yang ada di bawah ini.
ditanyakan sisi miring atau c
diketahui
b = 36km
a = 15km
maka:
Jarak pelabuhan A ke titik akhir
c² = 15² + 36²
c² = 225 + 1296
c² = 1521
c = √1521
c = 39
Jadi, jarak pelabuhan A ke titik akhir adalah 39 km.
Demikianlah materi Rumus Pythagoras (Pitagoras) Beserta Contoh Soal dan Pembahasannya. Semoga Bermanfaat.[resky]
Labels:
Bangun Datar
0 Komentar untuk "Pembuktian Rumus Phytagoras Pitagoras Beserta Soal Dan Pembahasan Rumus Singkat Ilmiah"